亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2019年 第二題AI解答
以下為 AI 生成之解答，僅供參考，未經正式審核。
題目：將 $1, 2, \cdots, 2018$ 這 2018 個數任意排成一列，得到一個數 $A$。則以 3 除 $A$ 的餘數為？
關鍵性質：對任意十進位正整數 $n$，因為 $10 \equiv 1 \pmod 3$，所以
$$n \equiv (\text{$n$ 的各位數字之和}) \pmod 3.$$解法：
把 $1,2,\dots,2018$ 這些數的十進位表示直接串接起來組成 $A$，那麼 $A$ 的各位數字之和，就等於把每個數 $k$（$1\le k\le 2018$）的 digit sum 全部加起來：
$$\text{digitsum}(A) = \sum_{k=1}^{2018} \text{digitsum}(k).$$而每個 $\text{digitsum}(k) \equiv k \pmod 3$，所以
$$A \equiv \text{digitsum}(A) \equiv \sum_{k=1}^{2018} \text{digitsum}(k) \equiv \sum_{k=1}^{2018} k \pmod 3.$$這個結果與排列順序完全無關，因為串接只是把各數字依序放置，並不影響「所有數字之和」這件事。
計算 $\sum_{k=1}^{2018} k$：
$$\sum_{k=1}^{2018} k = \frac{2018 \times 2019}{2} = 1009 \times 2019 = 2{,}037{,}171.$$檢查此數模 3：數字和 $2+0+3+7+1+7+1 = 21$，可被 3 整除，故
$$2{,}037{,}171 \equiv 0 \pmod 3.$$結論：無論怎麼排列，$A \bmod 3 = 0$。