第二題AI解答

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

以下為 AI 生成之解答，僅供參考，未經正式審核。

題目：將 $1, 2, \cdots, 2018$ 這 2018 個數任意排成一列，得到一個數 $A$。則以 3 除 $A$ 的餘數為？

關鍵性質：對任意十進位正整數 $n$，因為 $10 \equiv 1 \pmod 3$，所以

$$n \equiv (\text{$n$ 的各位數字之和}) \pmod 3.$$

解法：

把 $1,2,\dots,2018$ 這些數的十進位表示直接串接起來組成 $A$，那麼 $A$ 的各位數字之和，就等於把每個數 $k$（$1\le k\le 2018$）的 digit sum 全部加起來：

$$\text{digitsum}(A) = \sum_{k=1}^{2018} \text{digitsum}(k).$$

而每個 $\text{digitsum}(k) \equiv k \pmod 3$，所以

$$A \equiv \text{digitsum}(A) \equiv \sum_{k=1}^{2018} \text{digitsum}(k) \equiv \sum_{k=1}^{2018} k \pmod 3.$$

這個結果與排列順序完全無關，因為串接只是把各數字依序放置，並不影響「所有數字之和」這件事。

計算 $\sum_{k=1}^{2018} k$：

$$\sum_{k=1}^{2018} k = \frac{2018 \times 2019}{2} = 1009 \times 2019 = 2{,}037{,}171.$$

檢查此數模 3：數字和 $2+0+3+7+1+7+1 = 21$，可被 3 整除，故

第六題AI解答

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

以下為 AI 生成之解答，僅供參考，未經正式審核。

題目：函數 $f : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{0\}$ 滿足：對任意兩個相異的 $a, b$，恆有

$$f(a) + f(b) - f(a + b) = 2019.$$

（a）求 $f(0)$ 之值。

（b）設 $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ 為 100 個兩兩相異的正整數，求

$$f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{100}) - f(a_1 + a_2 + \cdots + a_{100})$$

之值。

取 $a$ 為任意正整數、$b = 0$（兩者相異），代入關係式：

$$f(a) + f(0) - f(a + 0) = 2019,$$

左邊的 $f(a)$ 與 $f(a+0) = f(a)$ 相消，得