亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2021年 第一階段
2020/11/21選填題#
第一題#
（7 分）已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 為方程式 $x^3 + ax + 1 = 0$ 之三根，其中 $a$ 為正實數。方程式 $x^3 + bx^2 + cx - 1 = 0$ 之三根為 $\dfrac{\alpha}{\beta}, \dfrac{\beta}{\gamma}, \dfrac{\gamma}{\alpha}$。已知 $\dfrac{|b| + |c|}{a}$ 的最小值可以寫成 $m^{1/n}$，其中 $m, n$ 為正整數且 $n \leq 9$，則數對 $(m, n) = $ ？
第二題#
（a）（3 分）設 $\triangle ABC$ 的內心為 $I$。將 $I$ 分別與頂點 $A, B, C$ 以線段連接，與三角形的三邊圍出三個面積分別為 $\sqrt{2}, 3, 4$ 的小三角形。則 $\triangle ABC$ 的內切圓面積為？（化為最簡根式）
（b）（4 分）設 $ABCD$ 為平行四邊形，點 $E, F$ 分別落在 $AB, BC$ 邊上。已知 $\triangle AED$ 的面積等於 7、$\triangle EBF$ 的面積等於 3、$\triangle CDF$ 的面積等於 6。則 $\triangle DEF$ 的面積等於？（化為最簡根式）
第三題#
（7 分）某款桌遊共有 10 張牌，其中 3 張畫有一個骷髏頭，另外 5 張畫有一枚硬幣，剩下的 2 張為空白。將這 10 張牌面朝下洗牌後堆成一疊，由最上方起逐張依序開牌，直到累積出現 3 張骷髏頭或 3 枚硬幣便停止。則因累積出現 3 張骷髏頭而停止的機率為？（化為最簡分數）
第四題#
（7 分）設 $n$ 為正整數，且所有與 $n$ 互質的正整數 $m$ 都滿足 $m^6$ 除以 $n$ 的餘數等於 1。則 $n$ 之最大可能值為？
第五題#
（7 分）三角形 $ABC$ 中，$\angle A = 23^\circ$，$\angle B = 46^\circ$。設 $\Gamma$ 為以 $C$ 為圓心、$CA$ 長為半徑的圓。作 $\angle B$ 的外角平分線 $L$，且 $\Gamma$ 與 $L$ 交於 $M, N$ 兩點。則 $\angle MAN = $ ？
非選擇題#
第一題#
（7 分）找出所有符合下列性質的正整數 $A, B$：
- $A, B$ 寫成十進位後，有相同的位數。
- $2 \cdot A \cdot B = \overline{AB}$，其中 $\cdot$ 是一般的乘法，而 $\overline{AB}$ 是將 $A, B$ 的十進位表示法依序連接寫成的十進位數字，例如 $A = 12, B = 34$ 時，$\overline{AB} = 1234$。
第二題#
（7 分）給定正整數 $n$。有一張 $n \times n$ 的方格紙。對於方格紙上的一對方格，若這兩個方格有公共點（可以是共邊也可以是共頂點），則我們稱這一對方格「相鄰」。試求此方格紙上相鄰方格的對數。