亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2021年 第二階段
2021/01/27每題 7 分，共 5 題。
第一題#
給定一三角形 $ABC$，作以邊 $AB$ 為直徑的圓 $\Gamma$，並設 $\Gamma$ 與 $AC$、$BC$ 邊分別再交於點 $D$、$E$。分別由 $D$、$E$ 點向 $AB$ 引垂線，令垂足分別為點 $F$、$G$。設線段 $DG$ 與 $EF$ 交於點 $M$。試證：直線 $CM$ 與 $AB$ 垂直。
第二題#
已知某一個臉書社團裡有若干位成員，其中每一位都與社團裡的另外 36 位成員是好友。對於任何兩位社團成員 $X$ 與 $Y$，若他們是好友，則在社團裡恰有另外 18 位成員同時與 $X$ 和 $Y$ 是好友；反之，如果 $X$ 與 $Y$ 不是好友，則在社團裡恰有另外 4 位成員同時與 $X$ 和 $Y$ 是好友。試求此社團的成員人數。
第三題#
試找出方程式
$$3x^2 + 2xy = (x + y)^3$$的所有整數解 $(x, y)$。
第四題#
設正實數 $a, b, c, d$ 滿足 $a + b + c + d = 1$。證明：
$$a^a b^b c^c d^d \geq \frac{(abcd)^{1/4}}{\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{cd} + \sqrt{da}}$$第五題#
以三角形 $ABC$ 的三條邊 $BC$、$CA$、$AB$ 為底，分別向外作正方形 $Q_A$、$Q_B$、$Q_C$。設 $Q_B$ 中與頂點 $A$ 相鄰的兩頂點為 $C$、$D$，又設 $Q_C$ 中與頂點 $A$ 相鄰的兩頂點為 $B$、$E$。令 $Q_A$ 的中心點為 $M$。試證：$AM$、$BD$、$CE$ 三線共點。