亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2022年 第一階段
2021/11/13選填題#
第一題#
買一張大樂透時，你必須從 $\{1, 2, \ldots, 49\}$ 中選出六個相異正整數填在彩券上。每期開獎時，會從 $\{1, 2, \ldots, 49\}$ 抽出六個數字當獎號，再抽另一個數字當特別號。如果一張彩券上恰有四個數字是獎號，且再有一個數字是特別號，則該張彩券可以得到肆獎。在此規則下，一共有多少種數字組合可以得到肆獎？
第二題#
費波納契數列 $F_n$ 的定義是 $F_0 = 0$；$F_1 = 1$；$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ 對 $n \geq 2$ 時均成立。如果 $F_n$ 除以 12 的餘數為 7，則我們稱 $n$ 為費波納契之馬（因十二生肖中的第七位是馬）。在小於 1000 的正整數中，共有多少匹費波納契之馬？
第三題#
考慮像下圖一樣的數值三角形，在兩條邊上依序填入 $0, 1, 2, \ldots$，而三角形內部的數字則跟巴斯卡三角形一樣，是上列相鄰的兩數字的和。
0
1 1
2 2 2
3 4 4 3
4 7 8 7 4
… … … … … …所以第一列所有數字的總和是 0，第二列所有數字的總和是 2，第三列所有數字的總和是 6。則第 2022 列的總和除以 1000 的餘數是？
第四題#
設某個凸四邊形有外接圓，且其四邊長依序分別為 $1, 2, 3, 4$。則此四邊形的外接圓半徑為？（化為最簡根式）
第五題#
某國有 110 座城市，其中任 4 座城市之中都至少有 1 座城市，會與這 4 座城市中的其他 3 座城市有鐵路相通。則該國至少有多少座城市，其與該國中的所有其他城市之間有鐵路相通？
非選擇題#
第一題#
設 $ABCD$ 為凸四邊形，其中直線 $AB$ 與 $CD$ 不平行，同時令點 $P$ 為兩對角線 $AC, BD$ 的交點。在 $PD$ 線段中取一點 $M$、在 $PC$ 線段中取一點 $N$ 使得 $PM = PN$。若 $\angle CAB = \angle CDB$，試證：直線 $MN$ 與直線 $AB$ 的夾角，等於直線 $MN$ 與直線 $CD$ 的夾角。
第二題#
已知非負實數 $a, b, c, d$ 滿足 $a + 2b + 3c + 4d = 1$ 且 $(a+b)(c+d)^2 = (a+c)(b+d)^2 = k$。則 $k$ 的最大值為何？又該最大值在何時發生？