亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2022年 第二階段
2022/02/09第一題#
在銳角三角形 $ABC$ 中，$AH$ 為一條高，而 $BM$ 是一條中線。於三角形 $BHM$ 的外接圓上取一點 $D$ 使得 $AD$ 與 $BM$ 平行，並且點 $B$ 和 $D$ 位於直線 $AC$ 的兩側。試證 $BC = BD$。
第二題#
證明：存在一個正數 $C > 0$ 使得對所有的正整數 $n \geq 2$，下列性質成立：在區間 $(0, 1)$ 中任取 $n$ 個相異有理數（以最簡分數表示），這些有理數的分母總和必大於 $Cn\sqrt{n}$。
第三題#
證明存在 2022 個相異正整數 $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$，使得對於任意相異 $i, j$，都有 $(a_i - a_j)^2$ 整除 $a_i a_j$。
第四題#
$A$ 是平面上的一個凸 2022 邊形，其頂點依序為 $P_0, P_1, \cdots, P_{2021}$。我們選擇 $A$ 的 2020 條不相交對角線，並用其將 $A$ 分割為 2021 個不重疊的三角形。試證：不論我們如何選擇這些對角線，我們都可以將這些三角形用 1 到 2021 編號，使得對於所有 $i = 1, 2, \cdots, 2021$，$P_i$ 都是第 $i$ 號三角形的其中一個頂點。
第五題#
設 $P$ 為三角形 $ABC$ 內部一點，滿足
$$\angle BPC - \angle PBC = \angle CPA - \angle PCA = \angle APB - \angle PAB = 90^\circ.$$證明：三角形 $ABC$ 是一個正三角形。