亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2023年 第一階段
2022/10/30選填題#
第一題#
給定坐標平面上的六個點：$(0, 4), (2, 8), (3, 1), (6, 0), (7, 6), (10, 5)$。則包含此六點的凸多邊形中，最小可能面積為？
第二題#
青蛙在一張五乘五的方格紙最左下角的格子中。每一次，牠可以從牠目前所在位置往右跳一格、往上跳一格或往右上跳一格。則青蛙跳到最右上角格子的方法總數為？
第三題#
設 $m$、$n$ 為正整數，$mn < 2023$ 且 $|n^2 - mn - m^2| = 1$，則 $mn$ 的最大可能值為？
第四題#
令 $A$ 為 $\{1, 2, \cdots, 2022\}$ 的一個子集，滿足：對於 $A$ 的任意兩個相異元素 $x > y$，$x+y$ 都不能被 $x-y$ 整除。則 $A$ 元素個數的最大可能值為？
第五題#
已知方程式 $x^2 + ax + b = 0$ 的兩根為 $\alpha$ 和 $\beta$，方程式 $x^2 + bx + c = 0$ 的兩根為 $\dfrac{1}{\alpha}$ 和 $\beta$，其中 $a, b, c$ 為實數且 $(b+1)(c+1) \neq 0$。若 $\left(\dfrac{c}{b+1} + \dfrac{a}{c+1}\right)^4$ 的最小可能值為 $\dfrac{q}{p}$，其中 $p, q$ 為互質的正整數，則 $(p, q) = $ ？
非選擇題#
第一題#
證明：對於任何大於 1 的正整數 $n$，$n$ 都無法整除 $2^n - 1$。
第二題#
設 $\triangle ABC$ 為直角三角形，$\angle B$ 為直角。有一個圓心在 $BC$ 邊上的圓 $\omega$ 與 $AC$ 邊相切。由點 $A$ 向圓 $\omega$ 引另一條切線 $AT$，其中 $T$ 為切點且不在 $AC$ 邊上。設點 $D$ 為 $AC$ 邊的中點，再設 $BD$ 與 $AT$ 交於點 $M$。試證：$MT = MB$。