亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2023年 第二階段
2023/02/01第一題#
已知正整數 $n$ 可以被寫成若干個正整數的乘積，且這若干個正整數的和為 2023。試求 $n$ 的最大可能值。
第二題#
請找出 $x^3 + y^3 - 12xy = 13$ 的所有正整數解 $x, y$。
第三題#
五十張卡片上各寫了 $1$ 或 $-1$ 的其中一個數字。你每次可以選擇三張卡片，並獲知此三張卡片上數字的乘積。試求最小的正整數 $n$，使得你存在一個策略，能保證在至多 $n$ 次問題後得知全部卡片上的數字總乘積。
第四題#
數列 $\{a_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ 滿足：
$$a_1 = 1, \quad a_{k+1} = \dfrac{a_k}{1 + a_k^2}, \quad k \geq 1.$$令 $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$。
(i) 證明：存在兩個正數 $C_1 < C_2$，使得
$$C_1 \leq \frac{S_n}{\sqrt{n}} \leq C_2$$對所有的正整數 $n$ 都成立。
(ii) 試求 $S_{2n^2+3n}$ 的整數部分（以 $n$ 的函數表示）。
第五題#
平面上有一點 $A$ 在圓 $\omega$ 上，另有一點 $X$ 在圓 $\omega$ 外。過點 $X$ 作一直線 $\ell$，設 $\ell$ 與 $\omega$ 交於兩點 $B$、$C$。令點 $H$ 為三角形 $ABC$ 的垂心。試證：平面上存在一點 $Y$，滿足 $HA^2 + HY^2$ 為一個與直線 $\ell$ 無關的定值。