亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2024年 第一階段
2023/11/11選填題#
第一題#
老師和另外 20 位同學圍成一圈。老師戴著一頂帽子，並且要分配帽子給另外五位同學，使得任兩個有帽子的人（含老師）之間都至少有兩個沒有帽子的人。則老師一共有多少種不同的分配帽子方式？
第二題#
$2024^{2024}$ 除以 $102$ 的餘數為？
第三題#
考慮多項式函數 $P(x) = x^2 - 1$。設實數 $a$ 滿足 $P(P(P(a))) = 2024$。將 $a^2$ 之值寫成 $m + \sqrt{n}$，其中 $m, n$ 為正整數且 $n$ 不被大於 1 的平方數整除，則 $m + n$ 之值為？
第四題#
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle A = 62^\circ$，$\angle B = 64^\circ$，且 $D, E$ 分別為通過 $C, B$ 的高的垂足。直線 $DE$ 與 $\triangle ABC$ 外接圓有兩個交點，在 $AB$ 劣弧上的稱為 $P$，在 $AC$ 劣弧上的稱為 $Q$。則 $\angle QAE - \angle PAD$ 為多少度？
第五題#
已知 $x$ 是一個三位數的正整數且 $x^2$ 除以 $2024$ 的餘數為 $1$，則 $x$ 的最小可能值為？
非選擇題#
第一題#
有 2024 位妹妹各帶來一隻洋娃娃。考慮將這 2024 隻洋娃娃分給這些妹妹，使得每位妹妹各揹一隻洋娃娃的所有配對方法。對於所有 $k \geq 0$，令 $p(k)$ 為這些方法中，恰有 $k$ 位妹妹揹著自己帶來的洋娃娃的方法數量。證明：
$$\sum_{k=0}^{2024} k \cdot p(k) = 2024!.$$第二題#
設 $x, y, z$ 為正實數。試求
$$\dfrac{x}{3x+y+z} + \dfrac{y}{x+3y+z} + \dfrac{z}{x+y+3z}$$之值的範圍。