亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2024年 第二階段
2024/01/24第一題#
有體重 1 到 10 的骷髏各一隻。芙莉蓮命令阿烏拉將這些骷髏排成一橫列，使得任何相鄰三隻骷髏的體重總和都不超過 15。試問阿烏拉能否達成芙莉蓮的命令？
第二題#
設 $f(x)$ 為實係數多項式。已知 $f(3)$ 為正質數，且不等式
$$x + 1 \leqslant f(x) \leqslant 3x^2 - 5x + 4$$對所有實數 $x$ 均成立。試求 $f(11)$ 的最大可能值。
第三題#
自然數 $x$ 以十進制表示時，各位數字的乘積等於 $x^2 - 20x - 88$。試求所有滿足以上條件的 $x$。
第四題#
銳角三角形 $ABC$ 中 $\angle B > \angle C$，點 $I$ 為其內心，$R$ 為其外接圓半徑，而 $D$ 為 $A$ 點在 $BC$ 上的垂足。點 $K$ 落於直線 $AD$ 上，使得 $AK = 2R$，且 $D$ 在 $A$ 與 $K$ 之間。證明：
$$\angle KID = \frac{\angle B - \angle C}{2}.$$第五題#
一個正五邊形的五個頂點各被賦予一個整數，使得所有頂點的數字總和大於零。若連續三個頂點的數字依序為 $x$、$y$ 和 $z$，且 $y < 0$，則我們可以對其進行以下操作：將 $x$、$y$ 和 $z$ 分別改為 $x + y$、$-y$ 和 $z + y$。只要五個頂點中任一頂點的數字小於零，我們便會持續進行操作。試問：以上操作是否必然只能操作有限次？