亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2025年 第一階段
2024/11/09選填題#
第一題#
你參加一款新手機遊戲的活動。你每天的忠誠度是成等差數列的整數，每天的黏著效益也是成等差數列的整數，而你每天登入能獲得的寶石數量是你當天的忠誠度乘以黏著效益。已知你第一、二、三天登入時，各自獲得 390、840 與 1210 顆寶石。則你第 11 天登入時獲得的寶石數量為？
第二題#
三角形 $ABC$ 之三邊長分別為 $AB = 8$，$BC = 10$，$AC = 9$。$AC$ 之中垂線交 $BC$ 於 $D$，則 $CD$ 的長度為？（化為最簡分數）
第三題#
已知正實數 $a, b, c$ 滿足 $a + 2b + 3c = 1$，則 $\log_6 a + 2^3 \log_6\left(\dfrac{b}{2^2}\right) + 3^3 \log_6\left(\dfrac{c}{3^2}\right)$ 的最大可能值為？
第四題#
有一個 $3 \times 3$ 的棋盤，我們在每一格中填入一個數字，使得 1 到 9 的九個數字各出現一次。定義以下兩個值：
- 考慮每一直排的最大數字，並令 $a$ 為這三者中最小者。
- 考慮每一橫列的最小數字，並令 $b$ 為這三者中最大者。
則讓 $a = b = 4$ 的填法共有多少種？
第五題#
小智有 8 隻神奇寶貝。他希望能出戰 $n$ 次對決，每次對決他需要派出 4 隻神奇寶貝，使得存在正整數 $m$ 讓任兩隻神奇寶貝都在恰好 $m$ 次對決中同時出戰。則 $n$ 的最小可能值為？
非選擇題#
第一題#
令 $ABC$ 為一銳角三角形。作點 $A_1$ 使得 $\triangle A_1BC$ 為以 $A_1$ 為頂角，且與 $\triangle ABC$ 不重疊的等腰直角三角形。同理，作點 $B_1$ 與 $C_1$，使得 $\triangle AB_1C$ 與 $\triangle AC_1B$ 分別為以 $B_1$ 與 $C_1$ 為頂角，且皆與 $\triangle ABC$ 不重疊的等腰直角三角形。證明 $AA_1, BB_1, CC_1$ 三線共點。
第二題#
找出所有正整數對 $(a, b)$，使得 $a^2 + a + b$ 是 $ab + b + 3$ 的倍數。