亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2025年 第二階段
2025/01/22第一題#
令 $a_1, \cdots, a_8$ 為實數。試求
$$\dfrac{(1 + 2^2a_1 + 3^2a_2 + \cdots + 9^2a_8)^2}{1 + 2a_1^2 + 3a_2^2 + \cdots + 9a_8^2}$$的最大可能值。
第二題#
黑板上有十個相異的兩位數正整數。試證：我們可以將其中一些正整數塗成紅色，另一些塗成藍色，使得紅色數字的總和與藍色數字的總和相同。（註：不需要對所有數字都塗色。每個數字至多只能塗一個顏色。）
第三題#
銳角三角形 $ABC$ 中 $AB \neq AC$，$D$、$F$ 分別在 $AB$ 與 $AC$ 的邊上。令 $G$ 為 $DC$ 與 $FB$ 的交點，$M$ 為 $BC$ 的中點。再令 $P$、$Q$ 分別為 $G$ 到 $AB$ 與 $AC$ 之垂足。證明：若 $MP = MQ$ 則 $D$、$B$、$C$、$F$ 四點共圓。
第四題#
試求所有正整數對 $(m, n)$，滿足
$$m^2 + 2 \times 3^n = m(2^{n+1} - 1).$$第五題#
令 $\mathbb{N}$ 為全體正整數所成的集合。定義函數
$$f(n) = n + \left[\sqrt[3]{n + 2\left[\sqrt[3]{n}\right]}\right], \quad \forall\, n \in \mathbb{N},$$其中 $[a]$ 記為不大於 $a$ 的最大整數。
(i) 試求 $f(f(n)) - 2f(n) + n$ 的所有可能值（並給出證明）。
(ii) 證明：集合
$$S := \left\{n \in \mathbb{N} : f(f(n)) - f(n) - 1 = \left[\sqrt[3]{f(n)}\right] \leq 45\right\}$$恰有 2025 個相異元素。