亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2026年 第一階段
2025/11/08選填題#
第一題#
有 4 枚無法區別的金幣與 4 枚無法區別的銀幣，每枚硬幣都恰有一面有人臉。我們想要將這 8 枚硬幣疊成一疊，使得任兩枚相鄰的硬幣都不是以人臉面接觸人臉面。則我們一共有多少種可能的疊法？
第二題#
已知 $P$ 為 $\triangle ABC$ 內部一點，$AP, BP, CP$ 分別交 $\triangle ABC$ 外接圓於 $K, L, M$。若 $AC = 10, BC = 9, PA = 8, PB = 7$，則 $\dfrac{LM}{KM} = $ ？（化為最簡分數）
第三題#
若正實數 $a, b, c, d$ 滿足 $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$，則 $(a + \sqrt{2}b)(c + d)^2$ 的最大可能值為？（化為最簡分數）
第四題#
考慮無窮數列 $1, 11, 111, 1111, \ldots$。這個數列中的數字，除以 $2026$ 的餘數，總共有多少種不同的餘數？
第五題#
設 $x, y, z$ 為兩兩相異的實數，並滿足方程組
$$\begin{cases} 2x + \dfrac{y}{z} = 3, \\ 2y + \dfrac{z}{x} = 3, \\ 2z + \dfrac{x}{y} = 3. \end{cases}$$則 $x + y + z = $ ？（化為最簡分數）
非選擇題#
第一題#
$2025^2$ 個數字構成一個 $2025 \times 2025$ 的方陣。已知方陣中任兩橫排都不相同。證明：我們必可移除其中的一直列，使得在剩下的 $2024 \times 2025$ 方陣中，任兩橫排仍不相同。（註：對於任兩橫排，只要它們在某一直列的數字不相同，該兩橫排便視為不相同。）
第二題#
令 $ABC$ 為銳角三角形，其中 $AC > AB$。在邊 $AC$ 和 $AB$ 上分別取兩點 $D$ 和 $E$，使得 $CD = BE$。假設線段 $BD$ 與 $CE$ 的交點為 $F$，並在邊 $AC$ 上取一點 $G$，使得直線 $GF$ 平行於 $\angle BAC$ 的角平分線。令 $H$ 為 $AB$ 與 $FG$ 交點。試證 $\dfrac{AB}{DA} = \dfrac{CG}{HE}$。