第一題AI解答

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

以下為 AI 生成之解答，僅供參考，未經正式審核。

題目（選填題第一題）：有 4 枚無法區別的金幣與 4 枚無法區別的銀幣，每枚硬幣都恰有一面有人臉。我們想要將這 8 枚硬幣疊成一疊，使得任兩枚相鄰的硬幣都不是以人臉面接觸人臉面。則我們一共有多少種可能的疊法？

解法：

把問題拆成兩個獨立的子問題：「顏色（金/銀）怎麼排」和「每枚硬幣人臉面朝上或朝下（即方向）怎麼排」——因為「相鄰兩枚是否人臉貼人臉」只跟方向有關，跟顏色無關，所以兩者可以分開計算再相乘。

第一部分：顏色排列

從下到上 8 個位置中選 4 個放金幣（其餘放銀幣），因為同色硬幣不可區分：

$$\binom{8}{4} = 70 \text{ 種}$$

第二部分：方向排列

每枚硬幣有一面是人臉（記為 $E$）、一面空白（記為 $B$）。定義硬幣方向：

由下到上第 $i$ 枚與第 $i+1$ 枚相鄰時，接觸的是第 $i$ 枚的頂面與第 $i+1$ 枚的底面。兩者都是人臉（即「臉貼臉」）的條件是：第 $i$ 枚為 $U$（頂面 $E$）且第 $i+1$ 枚為 $D$（底面 $E$）。

也就是說，方向序列 $s_1, s_2, \ldots, s_8 \in \{U, D\}$ 中，禁止出現相鄰的「$U$ 接著 $D$」。

一旦序列中某處由 $U$ 換成 $D$，就違規；但由 $D$ 換成 $U$、或維持相同符號，都合法。因此合法序列必須形如：先若干個 $D$，再接若干個 $U$（一旦轉成 $U$ 就不能再變回 $D$）：

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