亞太數學奧林匹亞競賽初選考試 2026年 第二階段
2026/01/28第一題#
令 $f(n)$ 為 $n$ 的所有正因數的乘積。試求所有讓 $f(n)$ 是 $n$ 的冪次的正整數 $n$。
備註：$a$ 是 $b$ 的冪次，若且唯若存在正整數 $k$ 使得 $a = b^k$。
第二題#
某課本有 30 個單元，每個單元的頁數都是一個不大於 30 的正整數，且任兩個單元的頁數都不相同。任兩個單元不會出現在同一個頁面上。假設第一單元從課本的第一頁開始，且每個單元都緊接著前一個單元。設有 $N$ 個單元的第一頁出現在奇數頁。試求 $N$ 的最大可能值。
第三題#
令 $\triangle ABC$ 為銳角三角形，點 $P$、$Q$ 在邊 $BC$ 上，滿足 $\angle PAB = \angle ACB$ 及 $\angle QAC = \angle CBA$。在 $AP$ 射線上取點 $M$ 使得 $P$ 在 $A$、$M$ 之間，並在 $AQ$ 射線上取點 $N$ 使得 $Q$ 在 $A$、$N$ 之間，滿足 $\dfrac{AP}{PM} = \dfrac{QN}{AQ}$。證明直線 $BM$ 與 $CN$ 的交點落在三角形 $ABC$ 的外接圓上。
第四題#
試求所有正整數 $n$，滿足：存在整數 $a$ 和 $b$，使得 $n$ 為 $a^2 + b^2 + 1$ 的因數。
第五題#
證明：對於滿足 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{400}^2 = 1$ 的實數 $a_1, a_2, \ldots, a_{400}$，必存在正整數 $m \leq 10$，使得我們可以從中找到 $m$ 個 $a_{i_1}, \ldots, a_{i_m}$（$1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_m \leq 400$），並適當選取 $b_1, \ldots, b_m \in \{-1, 1\}$，使滿足
$$|a_{i_1}b_1 + a_{i_2}b_2 + \cdots + a_{i_m}b_m| < \frac{1}{2026}.$$