學科能力競賽 106學年度 決賽 筆試(二)
第一題#
設 $f(x)$ 為一個五次實係數多項式，如果 $f(x) + 1$ 能被 $(x-1)^3$ 整除，且 $f(x) - 1$ 能被 $(x+1)^3$ 整除，試求滿足上述條件之所有可能多項式 $f(x)$。
第二題#
設 $ABCD$ 為圓內接四邊形，其對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於點 $E$，直線 $\overline{AD}$ 與直線 $\overline{BC}$ 交於點 $F$，又直線 $\overline{EF}$ 分別與 $\overline{AB}$、$\overline{CD}$ 交於點 $K$, $L$。設 $\triangle CDK$ 的外接圓 $C_1$ 與 $\overline{AB}$ 交於點 $K$, $M$（相切時 $M$ 亦為 $K$），$\triangle KLM$ 的外接圓 $C_2$ 交 $\overline{CD}$ 於點 $L$, $N$。證明：若 $F$, $M$, $N$ 共線，則 $ABCD$ 為等腰梯形。
第三題#
(a) 證明：
$$\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! + 1 = (n+1)!$$(b) 證明：對於任意正整數 $n$，都可寫成 $n = \sum_{k \geq 1} a_k \cdot k!$ 的形式，其中 $a_k$ 為整數，$0 \leq a_k \leq k$；並且這種表示法唯一。