決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 與 $p$ 都是正整數。試證：若多項式 $f(x) = x^n + x^{n-1} + \cdots + x + p$ 可以分解為兩個次數不小於 $1$ 的整係數多項式之乘積，則 $p$ 不是質數。

第二題#

已知凸四邊形 $ABCD$ 的周長為 $10$，對角線 $\overline{AC} = \overline{BD} = 4$。試問四邊形 $ABCD$ 最大可能的面積為多少？

第三題#

設 $n$ 為正整數。今有 $2n$ 張紙牌，分別寫上號碼 $1, 2, 3, \ldots, 2n$。將這些紙牌排成一列：$a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$，不妨將此種排列記為 $S$。對於此種牌型 $S$ 中的 $i$ 號牌和 $2n+1-i$ 號牌中間所夾的紙牌張數記為 $f_i$，並令

$$|S| = f_1 + f_2 + \cdots + f_n.$$

例如，當 $n = 2$ 且排列 $S: 1324$，則 $f_1 = 2, f_2 = 0$，因此 $|S| = f_1 + f_2 = 2$。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $f(x)$ 為一個五次實係數多項式，如果 $f(x) + 1$ 能被 $(x-1)^3$ 整除，且 $f(x) - 1$ 能被 $(x+1)^3$ 整除，試求滿足上述條件之所有可能多項式 $f(x)$。

第二題#

設 $ABCD$ 為圓內接四邊形，其對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於點 $E$，直線 $\overline{AD}$ 與直線 $\overline{BC}$ 交於點 $F$，又直線 $\overline{EF}$ 分別與 $\overline{AB}$、$\overline{CD}$ 交於點 $K$, $L$。設 $\triangle CDK$ 的外接圓 $C_1$ 與 $\overline{AB}$ 交於點 $K$, $M$（相切時 $M$ 亦為 $K$），$\triangle KLM$ 的外接圓 $C_2$ 交 $\overline{CD}$ 於點 $L$, $N$。證明：若 $F$, $M$, $N$ 共線，則 $ABCD$ 為等腰梯形。

第三題#

(a) 證明：

$$\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! + 1 = (n+1)!$$

(b) 證明：對於任意正整數 $n$，都可寫成 $n = \sum_{k \geq 1} a_k \cdot k!$ 的形式，其中 $a_k$ 為整數，$0 \leq a_k \leq k$；並且這種表示法唯一。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $S$ 為 $100$ 個相異正數所形成的集合。試證：集合 $S$ 中存在兩個元素 $x, y$ 滿足

$$0 < x - y < \frac{(x+1)(y+1)}{99}。$$

第二題#

設 $A_1, A_2, \ldots, A_{2017}$ 為平面上任三點都不共線的 $2017$ 個點，任兩點連成的線段所成的集合以 $X$ 表示。試證：可以將 $X$ 中的線段每三個一組分堆，使得每一組的三條線段都恰可圍成一個三角形。