學科能力競賽 107學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
設 $n$ 為大於 $1$ 的正整數，對於數列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，我們定義 $|a_1 - a_2| + |a_2 - a_3| + \cdots + |a_{n-1} - a_n|$ 為此數列的「絕對長度」。今給定 $2n$ 個兩兩相異的實數，將此 $2n$ 個實數任意排成一列，共有 $(2n)!$ 個可能的數列：
證明：若 $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ 是其中絕對長度最大的數列，則
(i) $a_{2i-1} < a_{2i},\ i = 1, 2, \ldots, n$；$a_{2i} > a_{2i+1},\ i = 1, 2, \ldots, n-1$
或
(ii) $a_{2i-1} > a_{2i},\ i = 1, 2, \ldots, n$；$a_{2i} < a_{2i+1},\ i = 1, 2, \ldots, n-1$。
將 $1, 2, \ldots, 2n$ 任意排成一數列，求所有可能的數列之絕對長度的最大值。
第二題#
設 $\triangle A_1 A_2 A_3$ 的重心為 $G$，三邊的中點為 $M_1, M_2, M_3$，$M_1$ 在 $A_2 A_3$ 上，其餘類推。設有一點 $P$，它與 $A_1$ 在直線 $A_3 M_3$ 的同一側，且滿足 $PA_3 \parallel A_1 M_1$ 及 $\triangle P A_3 M_3 \sim \triangle A_1 A_2 A_3$。已知 $\angle A_1 G A_2$ 與 $\angle A_3$ 互補，證明：$\triangle A_1 A_2 A_3$ 是正三角形。
第三題#
設有理數數列 $a_0, a_1, a_2, \ldots$ 滿足 $a_n = 2018 a_{n-1}(1 - a_{n-1})$，$n \geq 1$。已知存在相異兩正整數 $i, j$，使得 $a_i = a_j$，求 $a_0$。