決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為大於 $1$ 的正整數，對於數列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，我們定義 $|a_1 - a_2| + |a_2 - a_3| + \cdots + |a_{n-1} - a_n|$ 為此數列的「絕對長度」。今給定 $2n$ 個兩兩相異的實數，將此 $2n$ 個實數任意排成一列，共有 $(2n)!$ 個可能的數列：

證明：若 $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ 是其中絕對長度最大的數列，則

(i) $a_{2i-1} < a_{2i},\ i = 1, 2, \ldots, n$；$a_{2i} > a_{2i+1},\ i = 1, 2, \ldots, n-1$

或

(ii) $a_{2i-1} > a_{2i},\ i = 1, 2, \ldots, n$；$a_{2i} < a_{2i+1},\ i = 1, 2, \ldots, n-1$。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $P$ 為 $\triangle ABC$ 的內部一點，滿足 $\angle BAC + \angle BPC = 180^\circ$ 且 $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$。

試證：$\angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC$。

第二題#

已知 $a, b, c$ 都大於 $-1$，試證：

$$\frac{1+a^2}{1+b+c^2} + \frac{1+b^2}{1+c+a^2} + \frac{1+c^2}{1+a+b^2} \geq 2$$

第三題#

試確認所有正整數 $n$，使得方程式

$$x + y + z = n\sqrt{xyz}$$

有正整數解 $x, y, z$。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知三次函數 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的圖形和直線 $x=p,\ x=q,\ x=r,\ x=s$ 的交點分別是 $P, Q, R, S$（$p, q, r, s$ 互不相同）。

證明：直線 $PQ$ 和 $RS$ 的交點在 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 上 $\Leftrightarrow p+q=r+s$。

第二題#

已知 $S$ 是一個正整數集合，至少有兩個元素，且元素兩兩不相等。如果對於 $S$ 的任何元素 $a$，都可以將 $S - \{a\}$ 分成兩個不相交的集合使其元素和相等，則稱 $S$ 是一個怪集合。

證明：怪集合必有奇數個元素。