學科能力競賽 108學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
設 $\triangle ABC$ 的其中兩邊等長，其重心是 $G$。在 $\overline{AB}$ 上取一點 $D$ 使得 $\overline{AD} = \overline{AG}$，$\overline{DG}$ 分別與 $\overline{AC}$、$\overline{BC}$ 交於點 $E$、$F$。已知 $E$ 為 $\overline{DF}$ 的中點，求 $\angle BFD$。
第二題#
有 101 個正整數 $a_1, a_2, \cdots, a_{101}$ 滿足 $a_1 + a_2 + \cdots + a_{101} = 300$，其中的最大數大於 100 且小於 150。試證：在這 101 個數中，必有某些數之和等於 108。
第三題#
當 $x$ 為實數時，$[x]$ 表示不大於 $x$ 的最大整數。證明：當 $n$ 為正整數時，
$$\left[\sqrt{1}\right]^2 + \left[\sqrt{2}\right]^2 + \cdots + \left[\sqrt{n}\right]^2 \geq \frac{n^2}{3}$$恆成立。