學科能力競賽 108學年度 決賽 筆試(二)
第一題#
如圖，取圓外一點 $A$ 作圓的切線交圓於 $B$、$C$ 兩點，在圓上取另一點 $D$ 使得 $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，連接 $\overline{AD}$ 交圓於 $E$，再連接 $\overline{CE}$，試證 $\overline{DE} = 2\overline{CE}$。
第二題#
設 $p$ 為大於 $3$ 的質數。考慮級數和
$$s = \frac{1}{\dbinom{p}{1}^2} + \frac{1}{\dbinom{p}{2}^2} + \cdots + \frac{1}{\dbinom{p}{p-1}^2}$$將 $s$ 整理成最簡分數 $s = \dfrac{m}{n}$，試證：分母 $n$ 不是 $p^2$ 的倍數。
第三題#
令 $f(x)$ 是一個 $m$ 次整係數多項式函數，其中 $m \geq 1$。已知數列 $\{a_n\}$ 滿足 $a_0 = 0$ 且對所有正整數 $n$ 都有 $a_n = f(a_{n-1})$。如果 $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$ 這 $2019$ 個整數裡面至少有 $1011$ 個不等於 $0$，試證明 $f(a_{2019}) \neq 0$。