決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $\triangle ABC$ 的其中兩邊等長，其重心是 $G$。在 $\overline{AB}$ 上取一點 $D$ 使得 $\overline{AD} = \overline{AG}$，$\overline{DG}$ 分別與 $\overline{AC}$、$\overline{BC}$ 交於點 $E$、$F$。已知 $E$ 為 $\overline{DF}$ 的中點，求 $\angle BFD$。

第二題#

有 101 個正整數 $a_1, a_2, \cdots, a_{101}$ 滿足 $a_1 + a_2 + \cdots + a_{101} = 300$，其中的最大數大於 100 且小於 150。試證：在這 101 個數中，必有某些數之和等於 108。

第三題#

當 $x$ 為實數時，$[x]$ 表示不大於 $x$ 的最大整數。證明：當 $n$ 為正整數時，

$$\left[\sqrt{1}\right]^2 + \left[\sqrt{2}\right]^2 + \cdots + \left[\sqrt{n}\right]^2 \geq \frac{n^2}{3}$$

恆成立。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

如圖，取圓外一點 $A$ 作圓的切線交圓於 $B$、$C$ 兩點，在圓上取另一點 $D$ 使得 $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，連接 $\overline{AD}$ 交圓於 $E$，再連接 $\overline{CE}$，試證 $\overline{DE} = 2\overline{CE}$。

第二題#

設 $p$ 為大於 $3$ 的質數。考慮級數和

$$s = \frac{1}{\dbinom{p}{1}^2} + \frac{1}{\dbinom{p}{2}^2} + \cdots + \frac{1}{\dbinom{p}{p-1}^2}$$

將 $s$ 整理成最簡分數 $s = \dfrac{m}{n}$，試證：分母 $n$ 不是 $p^2$ 的倍數。

第三題#

令 $f(x)$ 是一個 $m$ 次整係數多項式函數，其中 $m \geq 1$。已知數列 $\{a_n\}$ 滿足 $a_0 = 0$ 且對所有正整數 $n$ 都有 $a_n = f(a_{n-1})$。如果 $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$ 這 $2019$ 個整數裡面至少有 $1011$ 個不等於 $0$，試證明 $f(a_{2019}) \neq 0$。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求滿足方程式 $x^2(y-1) + y^2(x-1) = 1$ 的所有整數解 $(x, y)$。

第二題#

將 $0, 1, 1, 2, 2, \cdots, n, n$ 等 $2n+1$ 個數字，依以下條件排列成一列：

$0$ 必須排在正中間且任何兩個數字 $r$（$1 \leq r \leq n$）之間恰有 $r-1$ 個數字。

$n = 6$ 時，是否有排列滿足要求？
$n = 7$ 時，是否有排列滿足要求？