學科能力競賽 109學年度 決賽 獨立研究試題(一)
第一題#
已知 $n$ 為正整數，且 $n \cdot 2^{n-1} + 1$ 為完全平方數，試求所有可能的 $n$ 值。
第二題#
在平面 $x + 2y + 3z = 4$ 上有一凸十邊形，其頂點均為格子點（即 $x$ 坐標、$y$ 坐標、$z$ 坐標均為整數的點）。試證此凸十邊形的面積不小於 $5$ 平方單位。
第三題#
日本社團「數學愛好協會」舉辦「圓形蛋糕切三等分大賽」，其數學結構說明如下：
- 點 $O$ 為圓心。
- 六角星的頂點 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ 為正六邊形的六個頂點，且 $\overline{OA_1} : \overline{OA_3} = 1:2$。
- $B^\prime$、$C^\prime$ 分別為 $\overline{OA_1}$、$\overline{PA_4}$ 的中點，且 $\overline{BB^\prime}$、$\overline{CC^\prime}$ 分別與 $\overline{OA_1}$、$\overline{PA_4}$ 垂直。
- $D^\prime$ 在 $\overline{OA_6}$ 的延長線上，$\overline{A_6D^\prime} = \overline{OB^\prime}$，且 $\overline{DD^\prime}$ 與 $\overline{OA_6}$ 垂直。
已知 $\overline{OB^\prime} = 1$，試證：$B$、$C$、$D$ 將圓周三等分。