學科能力競賽 109學年度 決賽 獨立研究試題(二)
第一題#
設正實數 $x, y, z$ 滿足 $3(x + y + z)^2 = 10(xy + yz + zx)$，試求 $\dfrac{x}{z}$ 的最大可能值。
第二題#
試確定所有可能的正整數 $n \geq 2$，滿足以下的性質：「對空間中任意 $2n$ 邊形（頂點可能不在同一平面上），當它的 $n$ 組對邊互相平行且相等時，各邊的中點必在同一平面上」。
第三題#
試求所有可能的二次整係數多項式函數 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 及整數 $d$，同時滿足以下兩條件：
- $\left| f(f(0)) \right| \leq 2020$，
- $f(f(1)) = f(f(2)) = f(f(3)) = d$。