學科能力競賽 109學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
試找出所有可能的三個連續正整數，它們都是質數的正整數次方。
第二題#
設 $P(x)$ 為 $n$ 次多項式（$n \geq 1$），其各項係數都是非負實數，且領導係數與常數項都是 $1$。已知方程式 $P(x) = 0$ 的所有解都是實數，試證：對任意 $x \geq 0$，不等式 $P(x) \geq (x+1)^n$ 恆成立。
第三題#
給定銳角三角形 $ABC$，其三邊長 $BC = a$、$CA = b$、$AB = c$，又正三角形 $PQR$ 內一點 $M$，滿足 $PM = a$、$QM = b$、$RM = c$；並設 $\triangle PQR$ 以點 $Q$ 為中心順時針方向旋轉 $60^\circ$ 後得到 $\triangle RQR^\prime$，且點 $M$ 移轉到點 $M^\prime$。
- 試證：四邊形 $PQRM$ 與四邊形 $MQM^\prime R$ 的面積相等，並求此面積（以 $a, b, c$ 表示）。
- 若 $D$ 為 $\triangle ABC$ 內部的一點，使得 $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$（即 $D$ 為費馬點），且 $AD + BD + CD = d$，試求 $\triangle PQR$ 的面積（以 $d$ 表示）。