學科能力競賽 109學年度 決賽 筆試(二)
第一題#
設 $\mathbb{N}$ 表示所有正整數所成的集合，且函數 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 滿足：對於任意的 $m, n \in \mathbb{N}$，$(f(m))^2 + f(n)$ 可以整除 $(m^2 + n)^2$。試證：對所有的 $n \in \mathbb{N}$，$f(n) = n$。
第二題#
設 $\triangle ABC$ 是銳角三角形，$M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\angle A$ 的分角線與 $\overline{BC}$ 交於點 $Q$，又點 $Y$、$Z$ 分別在 $\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 上，且 $\triangle MYZ$ 的內心為 $P$。已知 $B, C, Y, Z$ 四點共圓，且 $A, Y, P, Z$ 四點共圓，試證：$B, Z, P, Q$ 四點共圓。
第三題#
在正 $n$ 邊形的每個頂點上放置一顆石頭，並按以下規則操作：每一次操作可以選擇兩個相鄰的頂點並交換石頭。試問至少需要操作多少次，才會使得每顆石頭以順時針方向數都距離其初始位置恰好 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$ 格？其中符號 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$ 表示不大於 $\dfrac{n}{2}$ 的最大整數。