決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試找出所有可能的三個連續正整數，它們都是質數的正整數次方。

第二題#

設 $P(x)$ 為 $n$ 次多項式（$n \geq 1$），其各項係數都是非負實數，且領導係數與常數項都是 $1$。已知方程式 $P(x) = 0$ 的所有解都是實數，試證：對任意 $x \geq 0$，不等式 $P(x) \geq (x+1)^n$ 恆成立。

第三題#

給定銳角三角形 $ABC$，其三邊長 $BC = a$、$CA = b$、$AB = c$，又正三角形 $PQR$ 內一點 $M$，滿足 $PM = a$、$QM = b$、$RM = c$；並設 $\triangle PQR$ 以點 $Q$ 為中心順時針方向旋轉 $60^\circ$ 後得到 $\triangle RQR^\prime$，且點 $M$ 移轉到點 $M^\prime$。

試證：四邊形 $PQRM$ 與四邊形 $MQM^\prime R$ 的面積相等，並求此面積（以 $a, b, c$ 表示）。
若 $D$ 為 $\triangle ABC$ 內部的一點，使得 $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$（即 $D$ 為費馬點），且 $AD + BD + CD = d$，試求 $\triangle PQR$ 的面積（以 $d$ 表示）。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $\mathbb{N}$ 表示所有正整數所成的集合，且函數 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 滿足：對於任意的 $m, n \in \mathbb{N}$，$(f(m))^2 + f(n)$ 可以整除 $(m^2 + n)^2$。試證：對所有的 $n \in \mathbb{N}$，$f(n) = n$。

第二題#

設 $\triangle ABC$ 是銳角三角形，$M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\angle A$ 的分角線與 $\overline{BC}$ 交於點 $Q$，又點 $Y$、$Z$ 分別在 $\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 上，且 $\triangle MYZ$ 的內心為 $P$。已知 $B, C, Y, Z$ 四點共圓，且 $A, Y, P, Z$ 四點共圓，試證：$B, Z, P, Q$ 四點共圓。

第三題#

在正 $n$ 邊形的每個頂點上放置一顆石頭，並按以下規則操作：每一次操作可以選擇兩個相鄰的頂點並交換石頭。試問至少需要操作多少次，才會使得每顆石頭以順時針方向數都距離其初始位置恰好 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$ 格？其中符號 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$ 表示不大於 $\dfrac{n}{2}$ 的最大整數。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

正整數數列 $\langle a_n \rangle$ 滿足：對於每一個正整數 $k$，$a_{k+1}$ 等於 $a_k$ 的每一位數字之和的平方；例如：當 $a_k = 25$ 時，$a_{k+1} = (2+5)^2 = 49$，$a_{k+2} = (4+9)^2 = 169$。已知 $a_1 = 2^{2020}$，試求 $a_{2020}$ 的值。

第二題#

考慮 $\{1,2,3,4,5\}$ 的三個非空子集，滿足這三個集合的交集為空集合，且兩兩交集非空。試問這樣的三個集合有多少種？
若改為 $\{1,2,3,4,5\}$ 的四個非空子集，滿足此四個集合的交集為空集合，且任三集合交集非空。試問這樣的四個集合有多少種？

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $n$ 為正整數，且 $n \cdot 2^{n-1} + 1$ 為完全平方數，試求所有可能的 $n$ 值。

第二題#

在平面 $x + 2y + 3z = 4$ 上有一凸十邊形，其頂點均為格子點（即 $x$ 坐標、$y$ 坐標、$z$ 坐標均為整數的點）。試證此凸十邊形的面積不小於 $5$ 平方單位。

第三題#

日本社團「數學愛好協會」舉辦「圓形蛋糕切三等分大賽」，其數學結構說明如下：

點 $O$ 為圓心。
六角星的頂點 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ 為正六邊形的六個頂點，且 $\overline{OA_1} : \overline{OA_3} = 1:2$。
$B^\prime$、$C^\prime$ 分別為 $\overline{OA_1}$、$\overline{PA_4}$ 的中點，且 $\overline{BB^\prime}$、$\overline{CC^\prime}$ 分別與 $\overline{OA_1}$、$\overline{PA_4}$ 垂直。
$D^\prime$ 在 $\overline{OA_6}$ 的延長線上，$\overline{A_6D^\prime} = \overline{OB^\prime}$，且 $\overline{DD^\prime}$ 與 $\overline{OA_6}$ 垂直。

已知 $\overline{OB^\prime} = 1$，試證：$B$、$C$、$D$ 將圓周三等分。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設正實數 $x, y, z$ 滿足 $3(x + y + z)^2 = 10(xy + yz + zx)$，試求 $\dfrac{x}{z}$ 的最大可能值。

第二題#

試確定所有可能的正整數 $n \geq 2$，滿足以下的性質：「對空間中任意 $2n$ 邊形（頂點可能不在同一平面上），當它的 $n$ 組對邊互相平行且相等時，各邊的中點必在同一平面上」。

第三題#

試求所有可能的二次整係數多項式函數 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 及整數 $d$，同時滿足以下兩條件：

$\left| f(f(0)) \right| \leq 2020$，
$f(f(1)) = f(f(2)) = f(f(3)) = d$。