學科能力競賽 110學年度 複賽 北一區 筆試(一)
問題一#
已知 $a, b$ 為正整數，$a^2 + b^2$ 除以 $a + b$ 的商為 $q$，餘數為 $r$，求所有滿足 $q^2 + r = 2021$ 的數對 $(a, b)$。
問題二#
設 $a, b, c, A, B, C$ 為實數，且 $a \neq 0$，$A \neq 0$。假設對所有的實數 $x$，不等式
$$|ax^2 + bx + c| \leq |Ax^2 + Bx + C|$$恆成立，試證明
$$|b^2 - 4ac| \leq |B^2 - 4AC|。$$問題三#
已知 $|z| = 1$（$z$ 為複數），求 $|z^3 - z + 2|$ 的最大值。
問題四#
- 設 $p(x)$ 為一個整係數多項式。若 $m$ 為 $p(x)$ 的一個整數根，則 $p(x) + 2$（或 $p(x) - 2$）的整數根只有可能為 $m \pm 1$ 或 $m \pm 2$。
- 設 $p(x)$ 為一個 $n$ 次的整係數多項式。試證明 $p(x)(p(x) + 2)$ 最多只有 $n + 2$ 個整數根。