學科能力競賽 111學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
設 $a, b, c$ 是正實數，且滿足條件 $ab + bc + ca + 2abc = 1$，試證：
$$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{2abc} \geq 16,$$並求等號成立時，$a, b, c$ 之值分別是多少？
第二題#
已知有五個不同的四位數，它們的千位數字相同且它們的和恰能被其中的四個數整除，求所有滿足此條件的五個數。
第三題#
如圖，設銳角三角形 $ABC$ 中，$\overline{AC} > \overline{AB}$，點 $M, N$ 分別在邊 $AB, AC$ 上滿足 $\overline{AM} < \overline{AN}$，$\triangle ABC$ 與 $\triangle AMN$ 的外接圓交於相異兩點 $A, P$。設 $D, E, F$ 分別為 $\overline{MN}, \overline{BN}, \overline{CM}$ 的中點，$\triangle DEF$ 的外接圓與 $\overline{MN}$ 再交於 $D$ 與 $N$ 之間的一點 $G$。證明：
- $\triangle DEF \sim \triangle PMN$；
- $\dfrac{\overline{ED}}{\overline{EG}} = \dfrac{\overline{MP}}{\overline{NA}}$。