決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 是正實數，且滿足條件 $ab + bc + ca + 2abc = 1$，試證：

$$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{2abc} \geq 16,$$

並求等號成立時，$a, b, c$ 之值分別是多少？

第二題#

已知有五個不同的四位數，它們的千位數字相同且它們的和恰能被其中的四個數整除，求所有滿足此條件的五個數。

第三題#

如圖，設銳角三角形 $ABC$ 中，$\overline{AC} > \overline{AB}$，點 $M, N$ 分別在邊 $AB, AC$ 上滿足 $\overline{AM} < \overline{AN}$，$\triangle ABC$ 與 $\triangle AMN$ 的外接圓交於相異兩點 $A, P$。設 $D, E, F$ 分別為 $\overline{MN}, \overline{BN}, \overline{CM}$ 的中點，$\triangle DEF$ 的外接圓與 $\overline{MN}$ 再交於 $D$ 與 $N$ 之間的一點 $G$。證明：

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 為正整數，且 $c(ac+1)^2 = (5c+2b)(2c+b)$，試證：$c$ 必為奇數且 $c$ 為完全平方數。

第二題#

$S = \{2350, 2351, \cdots, 2350+k\}$，求所有的正整數 $k$，使得集合 $S$ 能分成元素和相等且交集為空集合的兩個子集合 $S_1$ 與 $S_2$。

第三題#

設 $x \geq 3$ 且三角形的三邊長為 $\log x$、$\log(x+1)$ 和 $\log(x^2+1)$。證明此三角形為鈍角三角形且其鈍內角度數大於 $120^\circ$。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為正整數。已知不等式 $a_{2n}^2 \geq c(a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1}) + a_{2n}$ 對任意嚴格遞增的正整數數列 $a_1 < a_2 < \cdots < a_{2n}$ 均成立，試求常數 $c$ 的最大可能值。（此最大值可能與 $n$ 有關）

第二題#

以下圖形為某公園的道路圖，每個道路交叉口都有一盞燈，可以是打開的或關掉的。每一個被道路分割產生的區域都有一個開關，按這個開關後會改變相鄰的路燈的狀態，開的會被關掉，關掉的會被打開。請證明不論開始所有路燈開關的情形為何，都可以適當的按壓不同區域的開關，讓所有的燈都被關掉。