學科能力競賽 112學年度 決賽 口試
第一題#
平面上給定一個凸 $n$ 邊形，其中 $n$ 為大於或等於 4 的正偶數，而 $P$ 為在該凸 $n$ 邊形內部且不在任何一條對角線上的一個點。考慮由該凸 $n$ 邊形之頂點所形成且包含 $P$ 點的三角形，試證明這樣的三角形共有偶數個。
第二題#
對於每個正偶數 $x$，令 $e(x)$ 為 $x$ 的因數中 2 的最高次方的數，例如，$e(8) = 2^3 = 8$，$e(12) = 2^2 = 4$。對於任意正整數 $n$，定義
$$S(n) = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} e(2k)$$若正整數 $n$ 小於 1300 且 $S(n)$ 是一個完全平方數，求 $n$ 的最大值。