學科能力競賽 112學年度 決賽 獨立研究試題(一)
第一題#
有 2023 塊窗戶，每片窗戶上都塗有紅黃藍其中一個顏色，我們可以任意挑選兩塊不同顏色的窗戶，把顏色擦乾淨後，塗上第三種顏色。請證明無論開始時窗戶的顏色是怎麼分佈的，我們一定可以在有限步驟後，將所有窗戶都塗上同一種顏色。
第二題#
試找出一個正整數數列 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{100}$，滿足每個數都大於 1、兩兩互質，且對於任意 $n$，$1 \leq n \leq 100$，$a_0 a_1 \cdots a_n - 1$ 都等於兩個連續正整數的乘積。（列出前四個數 $a_0, a_1, a_2, a_3$ 以及規律即可，但需完整論證符合條件）
第三題#
在 $x \neq 0$ 時，若實係數 $n$ 次多項式滿足 $f(x) = x^n f\left(\dfrac{1}{x}\right)$。證明：當 $n$ 為正偶數時，存在多項式 $g(x)$，滿足
$$f(n) = \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2} \left[ g\left(\frac{n}{2}\right) + g\left(\frac{2}{n}\right) \right].$$