學科能力競賽 112學年度 決賽 獨立研究試題(二)
第一題#
下圖中，$\overline{AM}, \overline{AN}$ 是圓 $O$ 的切線，$M$ 和 $N$ 是切點，$B$ 是劣弧 $\overset{\frown}{MN}$ 上異於 $M$、$N$ 的點。過點 $A$ 平行於 $\overline{MN}$ 的直線分別交直線 $\overline{BM}$、$\overline{BN}$ 於點 $P$ 和 $Q$。若 $\angle POQ = 60^\circ$，並用 $S(O)$ 和 $S(\triangle OPQ)$ 分別表示圓 $O$ 和三角形 $OPQ$ 的面積，求 $\dfrac{S(O)}{S(\triangle OPQ)} = ?$
第二題#
二維平面上的每個點都定義一個非零實數，其中有正也有負。且設 $d$ 為任意的正實數。
- 證明平面上必存在距離為 $d$ 的兩個點，其所對應的實數之乘積為正數。
- 證明平面上必存在距離為 $d$ 的兩個點，其所對應的實數之乘積為負數。
第三題#
已知 $x, y, z$ 皆為實數，且滿足聯立方程組
$$\begin{cases} x^2y + y^2z + z^2x = -1 \\ xy^2 + yz^2 + zx^2 = 5 \\ xyz = -2 \end{cases}$$試求 $x + y + z$ 之值。