學科能力競賽 112學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
設 $f(x)$ 是定義在正整數集上，取非負整數值的函數，且對所有的 $m, n$ 有
$$f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 \text{ 或 } 1$$$$f(3) = 0,\ f(4) > 0,\ f(10000) = 2500$$求 $f(9996)$ 與 $f(2023)$。
第二題#
空間上有任意 3 點不共線的點 2023 個，把它們分成 40 組且每組的點數都不相同，在任意 3 個不同的組中各取一點作為三角形的三頂點，為使三角形的總數最大，求各組中的點數分別要為多少？
第三題#
設點 $E$ 是正方形 $ABCD$ 外一點使得 $\triangle CDE$ 為銳角三角形，且 $\overline{CE} \neq \overline{DE}$，在 $\triangle CDE$ 的外側作兩個三角形 $\triangle CEF$ 和 $\triangle DEG$ 使得 $\angle CEF = \angle DEG = 90^\circ$，$\angle ECF = \angle EDG$。已知 $\overline{AF} = \overline{BG}$，試求 $\angle ECF = ?$