學科能力競賽 112學年度 決賽 筆試(二)
第一題#
找出所有讓 $\dfrac{2a^2+b^2}{a+2b}$ 是整數的互質正整數對 $(a, b)$。
第二題#
$f(x)$ 是一個實數值函數，滿足 $f(-1) = \sqrt{3}$，當 $x < 0$ 時 $f(x) > 1$，且對於任意實數 $x$ 和 $y$，有 $f(x+y) = f(x)f(y)$。數列 $\{a_n\}$ 則滿足 $a_1 = f(0)$，$a_2 = f(-2)$，且
$$f(a_{n+2}) = \frac{f((n+3)a_{n+1})}{f((n-2)a_n)}.$$求出所有正整數 $n$，使得 $a_n$ 是 11 的倍數。
第三題#
試求出最大的正整數 $N$ 使得可將集合 $\{1, 2, 3, \ldots, N\}$ 分為兩個不相交的非空子集合 $A$ 與 $B$，使得 $A$ 中任意 10 個數 $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$（不要求它們互不相同）的和都不在 $A$ 之中，且 $B$ 中任意 10 個數 $y_1, y_2, \ldots, y_{10}$（不要求它們互不相同）的和都不在 $B$ 之中。