決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $f(x)$ 是定義在正整數集上，取非負整數值的函數，且對所有的 $m, n$ 有

$$f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 \text{ 或 } 1$$$$f(3) = 0,\ f(4) > 0,\ f(10000) = 2500$$

求 $f(9996)$ 與 $f(2023)$。

第二題#

空間上有任意 3 點不共線的點 2023 個，把它們分成 40 組且每組的點數都不相同，在任意 3 個不同的組中各取一點作為三角形的三頂點，為使三角形的總數最大，求各組中的點數分別要為多少？

第三題#

設點 $E$ 是正方形 $ABCD$ 外一點使得 $\triangle CDE$ 為銳角三角形，且 $\overline{CE} \neq \overline{DE}$，在 $\triangle CDE$ 的外側作兩個三角形 $\triangle CEF$ 和 $\triangle DEG$ 使得 $\angle CEF = \angle DEG = 90^\circ$，$\angle ECF = \angle EDG$。已知 $\overline{AF} = \overline{BG}$，試求 $\angle ECF = ?$

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

找出所有讓 $\dfrac{2a^2+b^2}{a+2b}$ 是整數的互質正整數對 $(a, b)$。

第二題#

$f(x)$ 是一個實數值函數，滿足 $f(-1) = \sqrt{3}$，當 $x < 0$ 時 $f(x) > 1$，且對於任意實數 $x$ 和 $y$，有 $f(x+y) = f(x)f(y)$。數列 $\{a_n\}$ 則滿足 $a_1 = f(0)$，$a_2 = f(-2)$，且

$$f(a_{n+2}) = \frac{f((n+3)a_{n+1})}{f((n-2)a_n)}.$$

求出所有正整數 $n$，使得 $a_n$ 是 11 的倍數。

第三題#

試求出最大的正整數 $N$ 使得可將集合 $\{1, 2, 3, \ldots, N\}$ 分為兩個不相交的非空子集合 $A$ 與 $B$，使得 $A$ 中任意 10 個數 $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$（不要求它們互不相同）的和都不在 $A$ 之中，且 $B$ 中任意 10 個數 $y_1, y_2, \ldots, y_{10}$（不要求它們互不相同）的和都不在 $B$ 之中。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

平面上給定一個凸 $n$ 邊形，其中 $n$ 為大於或等於 4 的正偶數，而 $P$ 為在該凸 $n$ 邊形內部且不在任何一條對角線上的一個點。考慮由該凸 $n$ 邊形之頂點所形成且包含 $P$ 點的三角形，試證明這樣的三角形共有偶數個。

第二題#

對於每個正偶數 $x$，令 $e(x)$ 為 $x$ 的因數中 2 的最高次方的數，例如，$e(8) = 2^3 = 8$，$e(12) = 2^2 = 4$。對於任意正整數 $n$，定義

$$S(n) = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} e(2k)$$

若正整數 $n$ 小於 1300 且 $S(n)$ 是一個完全平方數，求 $n$ 的最大值。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

有 2023 塊窗戶，每片窗戶上都塗有紅黃藍其中一個顏色，我們可以任意挑選兩塊不同顏色的窗戶，把顏色擦乾淨後，塗上第三種顏色。請證明無論開始時窗戶的顏色是怎麼分佈的，我們一定可以在有限步驟後，將所有窗戶都塗上同一種顏色。

第二題#

試找出一個正整數數列 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{100}$，滿足每個數都大於 1、兩兩互質，且對於任意 $n$，$1 \leq n \leq 100$，$a_0 a_1 \cdots a_n - 1$ 都等於兩個連續正整數的乘積。（列出前四個數 $a_0, a_1, a_2, a_3$ 以及規律即可，但需完整論證符合條件）

第三題#

在 $x \neq 0$ 時，若實係數 $n$ 次多項式滿足 $f(x) = x^n f\left(\dfrac{1}{x}\right)$。證明：當 $n$ 為正偶數時，存在多項式 $g(x)$，滿足

$$f(n) = \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2} \left[ g\left(\frac{n}{2}\right) + g\left(\frac{2}{n}\right) \right].$$

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

下圖中，$\overline{AM}, \overline{AN}$ 是圓 $O$ 的切線，$M$ 和 $N$ 是切點，$B$ 是劣弧 $\overset{\frown}{MN}$ 上異於 $M$、$N$ 的點。過點 $A$ 平行於 $\overline{MN}$ 的直線分別交直線 $\overline{BM}$、$\overline{BN}$ 於點 $P$ 和 $Q$。若 $\angle POQ = 60^\circ$，並用 $S(O)$ 和 $S(\triangle OPQ)$ 分別表示圓 $O$ 和三角形 $OPQ$ 的面積，求 $\dfrac{S(O)}{S(\triangle OPQ)} = ?$

第二題#

二維平面上的每個點都定義一個非零實數，其中有正也有負。且設 $d$ 為任意的正實數。

證明平面上必存在距離為 $d$ 的兩個點，其所對應的實數之乘積為正數。
證明平面上必存在距離為 $d$ 的兩個點，其所對應的實數之乘積為負數。

第三題#

已知 $x, y, z$ 皆為實數，且滿足聯立方程組

$$\begin{cases} x^2y + y^2z + z^2x = -1 \\ xy^2 + yz^2 + zx^2 = 5 \\ xyz = -2 \end{cases}$$

試求 $x + y + z$ 之值。