學科能力競賽 112學年度 複賽 中投區 筆試(一)
第一題#
（9 分）設 $c$ 為常數且函數 $f(x) = x + c - (x^2 + 1)$。令 $M(c)$ 為 $|f(x)|$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 的最大值。試問當 $c$ 為何值時，$M(c)$ 的值為最小。
第二題#
（10 分）在等差數列 $100, 103, 106, \cdots, 199$ 中任取 20 個相異數，證明：其中必有 2 相異數之和為 302。
第三題#
（10 分）某班有 20 個學生，玩小天使活動。每個人要準備一份小禮物，收集禮物之後，每人再從中隨機抽取一份禮物。假設 $p$ 代表沒有任何一個人抽中自己禮物的機率，$q$ 代表恰有一人抽中自己禮物的機率，證明 $|p - q| = \dfrac{1}{20!}$。
第四題#
（10 分）正 $\triangle ABC$ 內部有一點 $P$ 到三頂點的線段長分別為 $\overline{PA} = 5$, $\overline{PB} = 6$, $\overline{PC} = 7$，求正 $\triangle ABC$ 的邊長。
第五題#
（10 分）如右圖，點 $E, F$ 分別在 $\overline{AC}, \overline{AB}$ 上使得 $\overline{BE} \perp \overline{AC}$, $\overline{CF} \perp \overline{AB}$，點 $S$ 是 $\overline{EF}$ 的中點，點 $P, Q$ 分別在 $\overline{SC}, \overline{SB}$ 上使得 $\overline{PE} \perp \overline{SC}$, $\overline{QF} \perp \overline{SB}$，證明：$B, C, P, Q$ 共圓。