學科能力競賽 112學年度 複賽 中投區 筆試(二)
第一題#
若
$$\begin{cases} z + xy + z^2 = 3 \\ y^2 - xz + z^2 = 1 \\ xy + z = 2 \end{cases}$$求實數解 $(x, y, z)$。
第二題#
設 $a$ 為實數，若三次方程式 $5x^3 - 5(a+1)x^2 + (71a - 1)x + 1 = 66a$ 的三個根皆為自然數，則 $a$ 值為何？
第三題#
計算 $1 \cdot 2 \cdot 4 + 4 \cdot 5 \cdot 7 + 7 \cdot 8 \cdot 10 + \cdots + 97 \cdot 98 \cdot 100$ 之值。
第四題#
設 $a \geq 0$, $b \geq 0$, $a + b = 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$，求 $a\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) + b\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的最大值。
第五題#
一副普通撲克牌共 52 張牌，定 $J, Q, K$ 分別為 11, 12, 13 點，今隨機抽出 3 張，求點數和為 13 點的機率。
第六題#
若對於所有的實數 $x, y$，$f(yf(x+y) + f(x)) = 4x + 2yf(x+y)$ 皆成立，求 $f(2023)$。
第七題#
如右圖，$E$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圓上，且 $\overline{AE}$ 為 $\angle A$ 的分角線，$D$ 是 $\overline{AE}$ 與 $\overline{BC}$ 的交點。已知 $\triangle ABC$ 的外接圓的半徑為 $\dfrac{25}{2}$，$\overline{AD} = 15$, $\overline{AE} = 20$，求 $\triangle ABC$ 的面積。