筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（9 分）設 $c$ 為常數且函數 $f(x) = x + c - (x^2 + 1)$。令 $M(c)$ 為 $|f(x)|$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 的最大值。試問當 $c$ 為何值時，$M(c)$ 的值為最小。

（10 分）在等差數列 $100, 103, 106, \cdots, 199$ 中任取 20 個相異數，證明：其中必有 2 相異數之和為 302。

（10 分）某班有 20 個學生，玩小天使活動。每個人要準備一份小禮物，收集禮物之後，每人再從中隨機抽取一份禮物。假設 $p$ 代表沒有任何一個人抽中自己禮物的機率，$q$ 代表恰有一人抽中自己禮物的機率，證明 $|p - q| = \dfrac{1}{20!}$。

（10 分）正 $\triangle ABC$ 內部有一點 $P$ 到三頂點的線段長分別為 $\overline{PA} = 5$, $\overline{PB} = 6$, $\overline{PC} = 7$，求正 $\triangle ABC$ 的邊長。

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

若

$$\begin{cases} z + xy + z^2 = 3 \\ y^2 - xz + z^2 = 1 \\ xy + z = 2 \end{cases}$$

求實數解 $(x, y, z)$。

設 $a$ 為實數，若三次方程式 $5x^3 - 5(a+1)x^2 + (71a - 1)x + 1 = 66a$ 的三個根皆為自然數，則 $a$ 值為何？

計算 $1 \cdot 2 \cdot 4 + 4 \cdot 5 \cdot 7 + 7 \cdot 8 \cdot 10 + \cdots + 97 \cdot 98 \cdot 100$ 之值。