學科能力競賽 112學年度 複賽 北一區 筆試(一)
第一題#
（11 分）設 $\{a_n\}$ 為滿足 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 的嚴格遞增之正整數數列，且當 $m, n$ 互質時，$a_{mn} = a_m a_n$ 恆成立。
- 證明 $a_3 = 3$。
- 給出 $a_n$ 的一般項公式並證明之。
第二題#
（11 分）滿足 $c^2 = a^2 + b^2$ 的正整數數對 $(a, b, c)$ 稱為一組畢氏數。試證明對任意一組畢氏數 $(a, b, c)$，下列恆成立。
- $\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2 > 8$。
- $\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2$ 不可能為整數。
第三題#
（12 分）平面上四點 $A, B, C, D$ 滿足任三點均不共線，且假設四邊形 $ABCD$ 的四條邊長之平方及兩對角線長的平方都是有理數，試證明 $\dfrac{\triangle ABC \text{ 面積}}{\triangle ADC \text{ 面積}}$ 也是有理數。
第四題#
（12 分）試證明聯立方程式
$$\begin{cases} x^3 + y^3 + z^3 = x + y + z \\ x^2 + y^2 + z^2 = xyz \end{cases}$$沒有正實數解。