學科能力競賽 112學年度 複賽 北一區 筆試(二)

第一題#

設 $x, y, z, u$ 為正整數，若 $x + y = 3(z + u)$，$x + z = 4(y + u)$，且 $x + u = 5(y + z)$，則 $x$ 最小的可能值為 ＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

設 $P(x)$ 為一個實係數六次多項式，若 $P(x)$ 滿足 $(x-1)P(x^2) = (x+1)\big(P(x)\big)^2$，則 $P(x) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

在等腰三角形 $ABC$ 中，$\overline{AB} = \overline{AC}$ 且 $\angle B$ 的平分線交 $\overline{AC}$ 於 $D$，如下圖所示，若 $\overline{BC} = \overline{AD} + \overline{BD}$，則 $\angle A = $ ＿＿＿（三）＿＿＿ 度。

第四題#

設 $a, b, c$ 為非零實數，在座標平面上，若 $y = x^4 - 8x^2 + ax + b$ 與 $y = x^2 - cx$ 的圖形交於四點：$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$, $(x_4, y_4)$，則 $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = $ ＿＿＿（四）＿＿＿。

第五題#

方程組

的解 $(x, y, z)$ 有多少組？＿＿＿（五）＿＿＿

第六題#

將 10 個公正骰子一起擲一次，若事件 $A, B$ 定義為

• $A$：全部出現奇數點；
• $B$：至少出現一個 1 點，

則機率 $P(A \cup B) = $ ＿＿＿（六）＿＿＿。

第七題#

若整數 $a, b, c$ 恰好是方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 的三個根，則 $(a, b, c)$ 可能為 ＿＿＿（七）＿＿＿。

第八題#

求面積為 $100\ \text{cm}^2$，周長最短的直角三角形的斜邊邊長。＿＿＿（八）＿＿＿

Reference#

• 112數理及資訊學科能力競賽.pdf（第 18–138 頁）