北一區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（11 分）設 $\{a_n\}$ 為滿足 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 的嚴格遞增之正整數數列，且當 $m, n$ 互質時，$a_{mn} = a_m a_n$ 恆成立。

證明 $a_3 = 3$。
給出 $a_n$ 的一般項公式並證明之。

第二題#

（11 分）滿足 $c^2 = a^2 + b^2$ 的正整數數對 $(a, b, c)$ 稱為一組畢氏數。試證明對任意一組畢氏數 $(a, b, c)$，下列恆成立。

$\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2 > 8$。
$\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2$ 不可能為整數。

第三題#

（12 分）平面上四點 $A, B, C, D$ 滿足任三點均不共線，且假設四邊形 $ABCD$ 的四條邊長之平方及兩對角線長的平方都是有理數，試證明 $\dfrac{\triangle ABC \text{ 面積}}{\triangle ADC \text{ 面積}}$ 也是有理數。

第四題#

（12 分）試證明聯立方程式

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $x, y, z, u$ 為正整數，若 $x + y = 3(z + u)$，$x + z = 4(y + u)$，且 $x + u = 5(y + z)$，則 $x$ 最小的可能值為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

設 $P(x)$ 為一個實係數六次多項式，若 $P(x)$ 滿足 $(x-1)P(x^2) = (x+1)\big(P(x)\big)^2$，則 $P(x) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

在等腰三角形 $ABC$ 中，$\overline{AB} = \overline{AC}$ 且 $\angle B$ 的平分線交 $\overline{AC}$ 於 $D$，如下圖所示，若 $\overline{BC} = \overline{AD} + \overline{BD}$，則 $\angle A = $ ＿＿＿（三）＿＿＿度。

第四題#

設 $a, b, c$ 為非零實數，在座標平面上，若 $y = x^4 - 8x^2 + ax + b$ 與 $y = x^2 - cx$ 的圖形交於四點：$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$, $(x_4, y_4)$，則 $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = $ ＿＿＿（四）＿＿＿。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $s, t, u$ 為 $x^3 - x - 1 = 0$ 的三個根，求 $\dfrac{1-s}{1+s} + \dfrac{1-t}{1+t} + \dfrac{1-u}{1+u}$ 的值。

第二題#

平面上有 $n$ 個點，假設任意三點所形成的三角形面積都小於等於 1。請解釋：可以找到一個三角形區域（內部及邊界）面積為 4，且可以完全包括蓋住這 $n$ 個點。

（註：此三角形的三頂點可以不全是這 $n$ 個點）