學科能力競賽 112學年度 複賽 北二區 口試
第一題#
設數列 $\langle a_n \rangle$ 滿足以下條件：
$\dfrac{a_1}{a_2}$ 為無理數，$0 < a_2 < a_1$ 且對任意的 $n \geq 1$，$a_{n+2} = a_n - \left[\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right] \cdot a_{n+1}$，其中符號 $[x]$ 表示不超過 $x$ 的最大整數。
- 試證：對任意的 $n \geq 1$，$0 < a_{n+1} < a_n$。
- 試證：對任意的 $n \geq 1$，$a_{n+2} < \dfrac{a_n}{2}$。
第二題#
對於由有限個向量組成的集合 $S$，令 $u_S$ 表示 $S$ 中向量的總和。今在坐標空間中任選 11 個非零向量 $(a_0, a_1, a_2)$，其中 $a_0, a_1, a_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$。試證明在這 11 個向量中存在兩個相異的非空子集合 $S$ 和 $T$，滿足內積 $(u_S - u_T) \cdot (1, 5, 25) = 0$。