學科能力競賽 112學年度 複賽 北二區 筆試(一)
第一題#
（16 分）平面上，設三角形 $ABC$ 的外接圓為 $\omega$。在 $\angle A$ 的內角平分線上取一點 $D$，作圓 $\Gamma$ 通過 $A$ 點，並與直線 $CD$ 切於 $D$ 點。已知圓 $\Gamma$ 分別與 $AB$ 邊及圓 $\omega$ 交於 $P, Q$ 兩點。證明直線 $CD$ 與 $PQ$ 的交點 $X$ 位於圓 $\omega$ 上。
第二題#
（16 分）求出所有形如 $x^3 + ax^2 + 3bx - 4b$ 且三根為相異正整數的三次多項式。
第三題#
對 $X = \{1, 2, 3, \cdots, 10\}$ 的每一子集 $S$，令 $f(S)$ 表示 $S$ 中連續整數對 $(i, i+1)$ 的組數；例如：集合 $S = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ 中的連續整數對有 $(1, 2), (2, 3), (5, 6)$，共 3 組，故 $f(S) = 3$。
- （5 分）對 $X$ 中恰含 3 個元素的所有子集 $A$，試求 $f(A)$ 的值之總和。
- （12 分）給定整數 $k$（$0 \leq k \leq 10$），對 $X$ 中恰含 $k$ 個元素的所有子集 $B$，試求 $f(B)$ 的值之總和。