學科能力競賽 112學年度 複賽 北二區 筆試(二)
第一題#
已知角 $\alpha$ 滿足 $0 < \alpha < 180^\circ$，且 $1 + \sin\alpha + \cos\alpha + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 0$，求實數 $\tan 2\alpha = $ ＿＿＿（一）＿＿＿。
第二題#
令 $f(x) = \dfrac{2^x - 2}{2^x + 2}$，計算 $\displaystyle\sum_{n=1}^{112} f\left(\frac{n}{56}\right) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。
第三題#
將單位正立方體置於坐標空間中的第一卦限，使得 $(0, 0, 0)$ 與 $(1, 1, 1)$ 為最遠的兩個頂點。則此正立方體位於兩平行平面 $x - y + z = 0$ 及 $x - y + z = 1$ 之間的區域體積為 ＿＿＿（三）＿＿＿。
第四題#
若 $x, y$ 為實數，則 $\sqrt{(4x - 2\sin y)^2 + (3x - \cos y - 5)^2}$ 的最小值為 ＿＿＿（四）＿＿＿。
第五題#
已知 $\triangle ABC$ 的周長為 12，$\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ 成等比數列，則 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ 的取值範圍為 ＿＿＿（五）＿＿＿（答案以區間表示）。
第六題#
若正數 $x$ 滿足方程式 $1 + \sqrt{(\log x) + 11} = (\log x)^2 - 2\log x - 10$，則 $x = $ ＿＿＿（六）＿＿＿。
第七題#
令
$$N = \sum_{0 \leq i < j \leq 50} C_i^{50} C_j^{50}$$（註：上述和式中，對於每一組 $0 \leq i < j \leq 50$ 都有一項，因此有 $C_2^{51}$ 項），求 $N$ 除以 31 的餘數為 ＿＿＿（七）＿＿＿。