北二區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（16 分）平面上，設三角形 $ABC$ 的外接圓為 $\omega$。在 $\angle A$ 的內角平分線上取一點 $D$，作圓 $\Gamma$ 通過 $A$ 點，並與直線 $CD$ 切於 $D$ 點。已知圓 $\Gamma$ 分別與 $AB$ 邊及圓 $\omega$ 交於 $P, Q$ 兩點。證明直線 $CD$ 與 $PQ$ 的交點 $X$ 位於圓 $\omega$ 上。

第二題#

（16 分）求出所有形如 $x^3 + ax^2 + 3bx - 4b$ 且三根為相異正整數的三次多項式。

第三題#

對 $X = \{1, 2, 3, \cdots, 10\}$ 的每一子集 $S$，令 $f(S)$ 表示 $S$ 中連續整數對 $(i, i+1)$ 的組數；例如：集合 $S = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ 中的連續整數對有 $(1, 2), (2, 3), (5, 6)$，共 3 組，故 $f(S) = 3$。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知角 $\alpha$ 滿足 $0 < \alpha < 180^\circ$，且 $1 + \sin\alpha + \cos\alpha + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 0$，求實數 $\tan 2\alpha = $ ＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

令 $f(x) = \dfrac{2^x - 2}{2^x + 2}$，計算 $\displaystyle\sum_{n=1}^{112} f\left(\frac{n}{56}\right) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

將單位正立方體置於坐標空間中的第一卦限，使得 $(0, 0, 0)$ 與 $(1, 1, 1)$ 為最遠的兩個頂點。則此正立方體位於兩平行平面 $x - y + z = 0$ 及 $x - y + z = 1$ 之間的區域體積為＿＿＿（三）＿＿＿。

第四題#

若 $x, y$ 為實數，則 $\sqrt{(4x - 2\sin y)^2 + (3x - \cos y - 5)^2}$ 的最小值為＿＿＿（四）＿＿＿。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設數列 $\langle a_n \rangle$ 滿足以下條件：

$\dfrac{a_1}{a_2}$ 為無理數，$0 < a_2 < a_1$ 且對任意的 $n \geq 1$，$a_{n+2} = a_n - \left[\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right] \cdot a_{n+1}$，其中符號 $[x]$ 表示不超過 $x$ 的最大整數。

試證：對任意的 $n \geq 1$，$0 < a_{n+1} < a_n$。
試證：對任意的 $n \geq 1$，$a_{n+2} < \dfrac{a_n}{2}$。

第二題#

對於由有限個向量組成的集合 $S$，令 $u_S$ 表示 $S$ 中向量的總和。今在坐標空間中任選 11 個非零向量 $(a_0, a_1, a_2)$，其中 $a_0, a_1, a_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$。試證明在這 11 個向量中存在兩個相異的非空子集合 $S$ 和 $T$，滿足內積 $(u_S - u_T) \cdot (1, 5, 25) = 0$。