學科能力競賽 112學年度 複賽 彰雲嘉區 筆試(一)
第一題#
（10 分）一輪遊戲將投擲一次一個公正骰子並接著投擲一枚公正硬幣，其中投出骰子的點數代表硬幣可以投擲的最大次數，若投擲硬幣時出現頭像，則遊戲隨即結束，若達到可以投擲硬幣的最大次數仍未出現頭像，則繼續下一輪的遊戲。試求遊戲至少須玩三輪才能結束的機率。
第二題#
（10 分）設 $\{a_n\}$ 為一數列，$a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2}$ 其中 $n = 3, 4, \cdots$。證明：對所有正整數 $k$，若 $2^k \mid n$，則 $2^{k+1} \mid a_n$。
第三題#
（10 分）設 $B, C$ 為平面上兩個相異點，$A$ 為滿足下列條件的動點：若 $\triangle ABC$ 的重心為 $G$，則 $\angle BAC + \angle BGC = 180^\circ$。求動點 $A$ 的軌跡。
第四題#
（10 分）令 $f(x, y, z) = \dfrac{xyz}{(1+3x)(4x+y)(3y+4z)(z+16)}$ 其中 $x, y, z > 0$。求 $f(x, y, z)$ 之最大值。
第五題#
（9 分）設 $a, b, c, d$ 為非負整數，$M, N$ 為正整數，且 $N - M = 2023$。已知 $x^4 + Mx^2 + N = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$，求滿足這樣條件的 $(M, N)$ 共有幾組？