學科能力競賽 112學年度 複賽 彰雲嘉區 筆試(二)

第一題#

設 $\triangle ABC$ 之點坐標為 $A = (0, 0)$, $B = (4, 0)$, $C = (3, 3)$，$P$ 為三角形內部一點，$d_a, d_b, d_c$ 分別為 $P$ 到 $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ 的距離。已知點 $P(x, y)$ 使得 $d_a^2 + d_b^2 + d_c^2$ 為最小，則 $(x, y) = $ ＿＿＿＿。

第二題#

設 $\{a_n\}$ 為一正整數數列，滿足 $a_{n+1}$ 為 $a_n$ 的各個位數的數字和，例如：若 $a_n = 123$，則 $a_{n+1} = 1 + 2 + 3 = 6$。理論上這個數列只要一直做下去，最後一定會停留在 1 到 9 其中一個數字。設 $a_1$ 為 1 到 2023 中的某一個正整數，使得此數列最後停在 7 這個數字，若這樣的 $a_1$ 總共有 $m$ 種選擇，則 $m = $ ＿＿＿＿。

第三題#

設 $x, y$ 為實數，且滿足方程式

則 $x = $ ＿＿＿＿。

第四題#

令 $m$ 為方程式 $x + y + z = 20$ 整數解的個數，其中 $-3 \leq x \leq 4$, $2 \leq y \leq 10$，且 $z \geq 3$，則 $m = $ ＿＿＿＿。

第五題#

令 $r, s, t$ 為多項式 $p(x) = x^3 - 2007x + 2002$ 的三個實數根，則 $\dfrac{r}{r+1} + \dfrac{s}{s+1} + \dfrac{t}{t+1} = $ ＿＿＿＿。

第六題#

一直線過一橢圓中心，且與橢圓的長軸所在直線的銳夾角為 $45^\circ$，此直線可將此橢圓分成兩個半橢圓，將其中一個半橢圓翻轉後，可與另一個半橢圓組成一個心型圖樣（如右圖）。已知 $A, B, C, D$ 在此心型上，$\overline{AB}$ 位於此心型的對稱軸上，且 $\overline{CD}$ 垂直 $\overline{AB}$。若 $\overline{AB} = 2\overline{CD}$，$m$ 為此橢圓長軸長比短軸長的比值，則 $m = $ ＿＿＿＿。

第七題#

設 $\{a_n\}$ 為一個正整數數列，對所有的正整數 $n$，$a_n$ 均滿足：$3^{a_n}$ 為所有 3 的正整數次方中最靠近 $2^n$ 的數。例如，在所有 3 的正整數次方中，最靠近 $2^3$ 的數為 $3^2$，所以 $a_3 = 2$。已知 $a_k = 2002$，則 $k = $ ＿＿＿＿。

（已知 $\log_3 2 \approx 0.6309$, $\log_2 3 \approx 1.5850$）

Reference#

• 112數理及資訊學科能力競賽.pdf（第 18–138 頁）