筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（10 分）一輪遊戲將投擲一次一個公正骰子並接著投擲一枚公正硬幣，其中投出骰子的點數代表硬幣可以投擲的最大次數，若投擲硬幣時出現頭像，則遊戲隨即結束，若達到可以投擲硬幣的最大次數仍未出現頭像，則繼續下一輪的遊戲。試求遊戲至少須玩三輪才能結束的機率。

第二題#

（10 分）設 $\{a_n\}$ 為一數列，$a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2}$ 其中 $n = 3, 4, \cdots$。證明：對所有正整數 $k$，若 $2^k \mid n$，則 $2^{k+1} \mid a_n$。

第三題#

（10 分）設 $B, C$ 為平面上兩個相異點，$A$ 為滿足下列條件的動點：若 $\triangle ABC$ 的重心為 $G$，則 $\angle BAC + \angle BGC = 180^\circ$。求動點 $A$ 的軌跡。

第四題#

（10 分）令 $f(x, y, z) = \dfrac{xyz}{(1+3x)(4x+y)(3y+4z)(z+16)}$ 其中 $x, y, z > 0$。求 $f(x, y, z)$ 之最大值。

第五題#

（9 分）設 $a, b, c, d$ 為非負整數，$M, N$ 為正整數，且 $N - M = 2023$。已知 $x^4 + Mx^2 + N = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$，求滿足這樣條件的 $(M, N)$ 共有幾組？

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $\triangle ABC$ 之點坐標為 $A = (0, 0)$, $B = (4, 0)$, $C = (3, 3)$，$P$ 為三角形內部一點，$d_a, d_b, d_c$ 分別為 $P$ 到 $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ 的距離。已知點 $P(x, y)$ 使得 $d_a^2 + d_b^2 + d_c^2$ 為最小，則 $(x, y) = $ ＿＿＿＿。

第二題#

設 $\{a_n\}$ 為一正整數數列，滿足 $a_{n+1}$ 為 $a_n$ 的各個位數的數字和，例如：若 $a_n = 123$，則 $a_{n+1} = 1 + 2 + 3 = 6$。理論上這個數列只要一直做下去，最後一定會停留在 1 到 9 其中一個數字。設 $a_1$ 為 1 到 2023 中的某一個正整數，使得此數列最後停在 7 這個數字，若這樣的 $a_1$ 總共有 $m$ 種選擇，則 $m = $ ＿＿＿＿。

彰雲嘉區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

第一題#

第二題#

第三題#

第四題#

第五題#

筆試(二)

第一題#

第二題#