學科能力競賽 112學年度 複賽 新北市 筆試(一)
第一題#
（16 分）已知下列聯立方程組有解，請問 $\theta$ 為何？
$$\begin{cases} -1 - \theta^2 + 2\cos(k\theta) + \theta\sin(k\theta) = 0, \\ \theta + \theta\cos(k\theta) - 2\sin(k\theta) = 0. \end{cases}$$第二題#
（16 分）已知數列 $a_n$ 的首項 $a_1 = -2$，對於所有 $m, n \in \mathbb{N}$，皆滿足
$$a_{m+n} = \left(1 + \frac{m}{1+n}\right)a_n + \left(1 + \frac{n}{1+m}\right)a_m + mn(m+n+1).$$試求其一般項 $a_n$。
第三題#
（17 分）設 $H$ 為三角形 $ABC$ 的垂心，圓 $O$ 為通過 $B, C, H$ 三點的圓，圓 $P$ 為通過 $C, H, A$ 三點的圓，以及圓 $Q$ 為通過 $A, B, H$ 三點的圓。試證圓 $O$、圓 $P$ 及圓 $Q$ 的直徑均相等。